Семантические хороводы, грань жизни-смерти и язык как друг: интервью с лауреатом «Нацбеста» Михаилом Елизаровым
В четверг, 5 августа, объявили лауреата очередного сезона премии «Национальный бестселлер» — им стал Михаил Елизаров с романом «Земля». В честь этого Иван Сергеев, научный корреспондент «Ножа», взял у него интервью: помимо собственно творчества он обсудил с Михаилом Юрьевичем его деятельность в рамках лаборатории «Современная алгебра и приложения», гладкие пространства и изучение псилоцибина с помощью топологического анализа данных.
— Михаил Юрьевич, прежде всего примите мои поздравления. Большая работа проделана, и она оценена по достоинству.
— Спасибо.
— Михаил Юрьевич, вы известны как писатель, автор и исполнитель песен, но при этом мало кто знает, что вы являетесь официальным сотрудником СПбГУ, работаете в лаборатории «Современная алгебра и приложения». Собственно, о ваших научных интересах и исследованиях и хотелось бы сегодня поговорить.
— Да, давайте поговорим.
— Расскажите, пожалуйста, о сфере ваших научных интересов.
— Сфера моих интересов довольно широка: это и теория мотивов, и алгебраическая геометрия, бесконечность-категории, топосы, квантовые инварианты трехмерных и четырехмерных многообразий, да и прикладные вопросы, связанные с топологическим анализом данных. В лаборатории я работаю полтора года, за это время успел наполниться витающей там культурой, она похожа на постоянно перемещающееся и деформирующееся облако идей и понятий. Сначала мои интересы были связаны исключительно с темами, которые поднимаются в романе «Земля», а именно с возможностью организации языкового пространства, адекватно охватывающего тему грани жизни-смерти. Мы провели ряд семинаров, обсуждая данную возможность. Коллеги рассказали о передовых исследованиях в топологии, и я понял, что нужно в это вникнуть. Понимаете, это как иностранный язык, его бессмысленно учить по грамматическим таблицам, необходимо погружение в среду, практика, воля. Когда вы оказываетесь среди носителей языка, и они вас дружелюбно принимают, язык как некая сущность также становится вашим другом, и те вещи, которые только что были совершенно непонятны, начинают выстраиваться в семантические хороводы.
— Что из открытий мировой науки последних лет вас больше всего впечатлило?
— Впечатлил результат исследований китайских коллег, посвященный гладким структурам на 61-мерной сфере. Пару лет назад они опубликовали эту работу. Если взять нечетномерные сферы, то все они, начиная с семимерной и до 59-мерной, имеют больше одной гладкой структуры, а на 61-мерной сфере есть строго одна гладкая структура. То есть в размерности 61 гладкая гипотеза Пуанкаре решается положительно. В конце 1950-х годов Милнор показал, что у 7-мерной сферы есть 28 разных гладких структур, это было потрясением в научном мире. Кто бы мог предположить, что с точки зрения гладкости в размерности 61 всё не так, как предыдущих. Представляете, если какая-то часть нашей жизни проходит в 61-мерном пространстве и жесткость жизненных обстоятельств обусловлена жесткостью гладких структур? Впечатляет также метод, которым пользовались китайские коллеги. Это классика. Изучение третьей стрелки в спектралке Адамса. Наша лаборатория была рада этому шагу, ведь мы занимаемся близкими вещами.
— Вопрос о гладких структурах открыт еще в каких-то размерностях?
— Конечно! Четырехмерная гладкая гипотеза Пуанкаре до сих пор открыта. Недавно коллеги показали работу, в которой она сводится к чистой теории групп. Но эта теория групп, скажем так, дикая, без видимых методов для взлома. Похожая ситуация была с обычной трехмерной гипотезой Пуанкаре. Когда-то Столлингс ее переформулировал в простых терминах, через отображения между свободными группами и группами поверхностей. Но за десятки лет никто из чистых алгебраистов не смог ее доказать, хотя многие пытались и чуть ли не сходили с ума. Затем, как все знают, Перельман доказал уже совсем другим методом, не имеющим прямого отношения к алгебре. С 4-мерной гипотезой такая же ситуация, необходим новый взгляд. Да много интересных гипотез остаются открытыми. Мы периодически возвращаемся к их обсуждению.
— Например, какие?
— Гипотеза Баума — Конна о совпадении разных К-теорий, гипотеза Фаррелла — Джонса, гипотеза изоморфизма, гипотеза Басса о следах идемпотентных матриц. Они все тесно связаны. Контрпример к одной из них повалит множество вопросов как дорожку из домино. Меня интригует алгебраическая К-теория. Взять хотя бы проблему описания К-функторов для целых чисел. Коллеги рассказывали, как еще в начале 2000-х люди радовались каждому новому шагу. Посчитали пятый, шестой, седьмой К-функтор. Всем казалось, что описания К-функторов значительно сложнее стабильных групп сфер. Затем теория Воеводского позволила осуществить прорыв и описать кучу функторов. Хотя до сих пор там много неизвестного, и это связано с дичайшими проблемами арифметики. Как понимать К-функторы? Даже для полей. Можно ли построить мотивные комплексы, когомологии которых задают К-функторы? Снова арифметика, группы Блоха, полилогарифмы, регуляторы, мультидзеты. Красивый странный мир. К нам в лабораторию часто приходят люди со своим видением К-функторов, рассказывают, как чувствуют К-теорию. Сотрудники лаборатории недавно опубликовали интересную работу о том, как представить третий К-функтор через пределы по категории копредставлений. Удивительная работа.
— Выше вы упомянули алгебраическую геометрию среди ваших интересов. Этот интерес тоже связан с топологией?
— Отчасти да, но в большей степени нет: как бы то ни было, алгебраическая геометрия находится на ином конце математического универсума, в ней чаще используются жесткие методы, к тому же эта область куда больше ассоциируется с миром прикладной математики. Скажем так, с точки зрения человека, выросшего в физико-технической среде, классическая алгебраическая геометрия будет куда ближе к «элементарной математике», чем классическая топология, потому что идеи классического алгеома ему ближе: не так сложно представить что-то, что жестко описывается уравнениями (например, фазовое пространство!), а вот идея смотреть на это с точностью до деформаций выглядит уже слегка шизофреничной и гораздо более нетривиальной. Тут есть занимательный аспект современной математики: например, в некоторой физической теории возникает какая-нибудь алгебраическая структура. Математики начинают ее активно изучать, и это как бы коллаборация с физиками, но когда смотришь внимательнее, видишь, что современное математическое мышление в очень многих аспектах отличается от физического и получается, как будто ребенок попадает в новую для себя языковую среду — вокруг иные понятия о красоте, иные пути развития.
— Можете привести пример такой алгебраической структуры?
— Ну, квантовая физика полнится такими примерами, причем тут мы видим двустороннее взаимодействие: физики используют математические теории для описания физических объектов, это подпитывает работу над различными математическими структурами, и такое развитие может быть уже использовано внутри математики. Так, например, возникла попытка построить квантовые инварианты узлов, или вот пространства модулей Римановых поверхностей — об этом думал еще Риман до возникновения всякой квантовой физики, но внезапно пространства модулей оказались очень важны в теории струн, что породило множество математических работ на эту тему (кстати, написанных не только математиками!). Вообще наука про пространства модулей — это какое-то уникальное явление, тут соприкасаются совершенно разные области, анализ и алгебра, квантовая физика и теория чисел.
— И что же вам ближе из этого?
— Я мыслю пространства модулей как чисто алгебраические объекты и каждый раз восхищаюсь, когда вижу аналитическое доказательство какого-нибудь алгебраического результата. Например, как с помощью тау-функции Бергмана удалось разложить некоторые классы дивизоров по образующим в рациональной группе Пикара проективизации расслоения Ходжа. Или динамика Тейхмюллера на этом же пространстве: оказывается, замыкание любой орбиты GL_2^+® является квазипроективным подмногообразием расслоения Ходжа, это показали Эскин, Мирзахани, Мохаммади и Филип в серии работ. И вот, просто как демонстрация, как это можно использовать: такая орбита связна по определению, а еще, допустим, мы знаем, что ее замыкание — гладкое многообразие, или гладкое вне какого-то куска большой коразмерности (скажем, там, где у кривых нет автоморфизмов или какие-то линейные системы имеют маленькую размерность), и у нас получается, что некоторое алгебраическое многообразие неприводимо. Например, мы знаем, что пространство модулей нечетных тэта-характеристик неприводимо — а что, если мы посмотрим на пространство модулей нечетных тэта-характеристик, у которых есть кратные нули? Это будет дивизор, который, кстати, играет центральную роль в бирациональной классификации пространства модулей всех тэта-характеристик — так вот, получается, что этот дивизор неприводим. И я не знаю алгебраического доказательства этого факта!
— Вы упомянули о прикладных вопросах, которые вас интересуют. Можете рассказать поподробнее?
— Раньше проблема науки была в том, что ей не хватало данных для изучения. Сейчас ситуация обстоит иначе. Есть много данных для изучения, но из них сложно извлечь качественную информацию. Классический подход работы с большими данными — статистический. Но информации, которую дает статистический подход, оказывается недостаточно, чтобы выделить качественные характеристики данных. Часто большие данные можно представить в виде облака точек в многомерном евклидовом пространстве. У такого облака есть какие-то геометрические свойства, которые плохо улавливаются статистикой. Тут нам на помощь приходит теория гомологий.
Представьте, что мы берем объединение шаров некоторого фиксированного радиуса с центрами в точках этого облака и вычисляем числа Бетти получившегося пространства. Эти числа Бетти зависят от радиуса шаров и кодируют важную информацию о геометрии облака. Однако эта информация тоже может быть достаточно бедна. Гораздо более полную информацию дает функториальный подход. Объединение шаров с меньшим радиусом содержится в объединении шаров с большим радиусом. Это включение индуцирует линейное отображение на гомологиях, которое тоже несет важную информацию о геометрии облака. Чтобы учитывать эту функториальную информацию, было введено понятие персистентного модуля и персистентных диаграмм. Я считаю, изучение этой функториальной топологической информации — наиболее перспективное направление в анализе данных. Эти идеи работают не только в том случае, когда мы изучаем облако, но и во всех случаях, когда мы тем или иным образом можем получить фильтрованное топологическое пространство по данным.
— То, что вы говорите, звучит очень абстрактно. Где это используется? Вы можете привести какие-то конкретные примеры?
— Конечно. Для черно-белого изображения на компьютере можно рассмотреть множество пикселей, цвет которых темнее некоторого заданного. Это даст вам некоторое подпространство на плоскости. Первые числа Бетти этого пространства несут важную информацию об исходном изображении, и помогают качественно отличать изображения. Используя эти идеи, коллеги из Курска и Владимира создали алгоритм для совмещения карт разного масштаба. Так же, например, при помощи топологического анализа данных было исследовано влияние псилоцибина на мозг.
Псилоцибин — психоделическое вещество, которое содержится в некоторых галлюциногенных грибах. Персистентные гомологии позволяют визуализировать разницу между работой мозга обычного человека и человека под воздействием псилоцибина при помощи некоторых диаграмм. Кроме того, топологический анализ данных используется в области компьютерного зрения. Есть теоретическая работа Карлсона с соавторами, основанная на работах Дэвида Мамфорда по компьютерному зрению, в которой было показано, что высококонтрастные 3×3-патчи естественных черно-белых фотографий, если рассматривать их как точки в девятимерном пространстве, имеют тенденцию скапливаться вблизи некоторого многообразия, гомеоморфного бутылке Клейна. Очень неожиданный результат!
— Интересно было бы заглянуть к вам в лабораторию, посмотреть, как вы проводите исследования, обсуждаете с коллегами результаты передовой науки, организуете семинары… У вас бывают встречи для широкого круга интересующихся?
— Да, помимо узкоспециализированных встреч и дискуссий, мы работаем над междисциплинарным семинаром «Языки и пространства». За последние годы у нас выступали писатель Андрей Аствацатуров, Пахом, философы Куртов и Регев, заходили в гости нацболы, рэперы, художники и перформеры, мы проводили как открытые, так и закрытые семинары. На слуху у публики мои лекции о Дарье Донцовой и о спекулятивных особенностях постмодернизма. На закрытых семинарах происходило много интересного. Темы обсуждений касались не только математики и философии, но также и психиатрии, лингвистики. Не стоит об этом открыто рассказывать. Что мы хотим открыто показать, то показываем. Видео, публикации. Остальное пусть останется лишь для своих.