Универсальная истина или продукт культуры? О чем спорят московские философы математики
Математика не зависит от развития культуры — или же она, как и другие явления мысли, продукт меняющихся исторических и социальных обстоятельств? Об этом — как, например, и о проблеме бесконечности — философы математики спорят десятилетиями, выдвигая всё более разнообразные и сложные аргументы. Доцент философского факультета МГУ Елена Косилова продолжает серию текстов о современной российской мысли и рассказывает читателям «Ножа» о Московском семинаре по философии математики и его наиболее активных участниках.
Любая философия — арена борьбы, и философия математики наглядно это демонстрирует. Борьбу, которая в ней ведется, можно назвать борьбой фундаментализма и антифундаментализма. Под фундаментализмом понимается философия математики времен от Пифагора до Канта, в общем настаивающая на общезначимом характере математики — на незыблемости математических основ, на их независимости от социокультурных факторов, универсальности математического мышления, жестких требованиях к доказательствам. Для фундаменталистов математика — это мир нерушимой идеальной строгости, притом таинственно связанный с миром природы. Фундаменталисты вообще склонны к трепетному отношению к математике. В этом они сродни религиозным верующим.
Антифундаменталисты стремятся расколдовать математику, спустить ее с небес на землю. В представлении многих из них математика — не что иное, как результат игры культурных и социальных сил. Ее претензия на истину в последней инстанции ничем не обоснована. С одной стороны, это что-то вроде игры в бисер, которая в каждой культуре складывается сама по себе, с другой — это служанка техники, разрабатывающая вычисления, а не доказательства. Ничего чудесного в ней нет и быть не может, потому что она всегда делается людьми и несет на себе отпечаток их ограниченности. Здесь же нужно назвать и теорию деятельности, в которой математика рассматривается как порождение человеческих практик счета, и когнитивную науку, в которой математика зависит от устройства мозга.
А. Г. Барабашев дает такое определение фундаментализма и антифундаментализма: первый занимается сущностью математики, второй — во многом ее деятельностным воплощением.
В книге «Структура научных революций» Кун вводит понятие научной революции как смены научных парадигм. Обычно так развивается та наука, которую называют нормальной. В ней господствует одна парадигма. Под парадигмой понимается общая система взглядов, определенное мировоззрение, способ понимания и толкования результатов. И вот эта-то глобальная система меняется во время научной революции. И одни и те же результаты в разных парадигмах толкуются по-разному. Поэтому при переходе от одной парадигмы к другой часть результатов теряются, на них начинают смотреть с иной точки зрения. Кун продемонстрировал смену парадигм на примере физики. И он говорил о том, что некоторые результаты отбрасывались (скажем, теория Птолемея была хорошо развита и даже неплохо работала, но сейчас она для нас стала ложной).
Можно ли сказать, что в математике происходит смена парадигм и, следовательно, возможны научные революции? Одни философы говорят, что, безусловно, есть парадигмы и они меняются. Например, декартовское соединение геометрии и арифметики было немыслимо в Античности, потому что тогда эти две ветви математики противопоставлялись друг другу. Другие возражают, что в математике не отбрасываются результаты. В ней нет теорий, которые были бы доказательно разработаны и затем оказались ложными, поэтому в ней нет существенного признака куновских научных революций. В ответ на это сторонники антифундаментализма пытаются найти признаки отбрасывания результатов, но, как мне кажется, у них пока не очень получилось.
Расскажу о некоторых отечественных философах математики — членах нашего семинара.
Анатолий Николаевич Кричевец
Анатолий Николаевич Кричевец (род. 1950) — неизменный руководитель и сердце семинара. Это необыкновенный, многогранный человек. Он по образованию математик и даже кандидатскую диссертацию защитил на мехмате. От математики он перешел к философии и докторскую писал уже по философии, по «условиям возможного опыта в математике, психологии и искусственном интеллекте».
Кричевец — один из немногих участников, который не стоит уверенно на позициях антифундаментализма, а рассматривает разные варианты.
В конце 1990-х семинар и вся группа философов математики обсуждали тему стилей в математике. Эти дискуссии шли на конференциях, которые проводил семинар, также вышел сборник «Стили в математике: социокультурная философия математики» (ред. А. Г. Барабашев, 1999), в котором отразилась полемика. Статья Кричевца в нем называется «В какой математике возможны стили математического мышления?».
Что такое стиль в математике? — спрашивают себя все авторы сборника, и Кричевец тоже начинает с этого вопроса. В качестве примера он называет известное различие, описанное А. Пуанкаре в работе «Интуиция и логика в математике»: различие между интуитивным стилем и стилем строго логическим. Оно же примерно соответствует различию геометрического и алгебраического мышления. Кричевец привлекает материал из психологии о том, как дети 5–7 лет начинают понимать количественные отношения. Всякое знание, повторяет он идеи Ж. Пиаже, является производным от структур деятельности. Но эти структуры не произвольны, они возникают всегда в одном и том же виде, хотя и постепенно.
Кричевец проводит аналогию между детским мышлением, которое нащупывает путь к общезначимым («априорным») структурам, и мышлением математика, который стоит перед проблемой. Он приводит в пример Н. Лузина, который, изучая матанализ, по-своему интерпретировал обращение с бесконечно малыми величинами. Стиль великих мыслителей, говорит Кричевец, — это работа их собственного мышления, а не простое усвоение уже данных алгоритмов действия.
Вот цитата из Лузина, которую приводит Кричевец:
«То, что было сделано Вейерштрассом — Кантором, — это всё было очень хорошо, и так и надо было делать; но совсем иной вопрос, отвечает ли это тому, что имеется в глубине нашего сознания. Я не могу не видеть вопиющего противоречия между интуитивно ясными основными формулами Интегрального Исчисления, и между несоответственно искусственной и сложной работой их „обоснования“ и их „доказательства“».
Здесь мы видим обычную для «высокой науки» тему понимания формализмов. И собственным стилем великого математика является манера такого понимания.
Затем А. Н. Кричевец рассматривает работы Ф. Виета, который впервые ввел термин «коэффициент» в решение квадратного уравнения, хотя его коэффициенты имели размерность. Идея размерности коэффициентов была порождена инерцией греческого подхода в математике. Впоследствии от этой идеи отказались, что говорило о конце греческого влияния. Мысль Кричевца в данном случае заключается в том, что это тоже стилистические разногласия и, следовательно, стили в математике резко различаются в ее поворотных точках, там, где принимаются основополагающие решения, где, так сказать, еще есть неустойчивость.
«Стили математического мышления возможны в математике концептуальных формулировок и целеполагания (сознательного, но в особенности неосознаваемого), а не в математике утверждений. Различные цели и смыслы, пока они не достигнуты и не реализованы, будут выглядеть для нас как некоторые неконцептуализируемые в рамках современной им математики особенности деятельности, которые мы с полным основанием можем назвать стилями», — пишет Кричевец.
И добавляет, что наша современная математика, в которой существуют интуитивный и логический, геометрический и алгебраический стили, тоже может со временем кому-то показаться переходной, только нащупывающей свои будущие очертания.
В работе «Трансцендентальный субъект и многообразие познавательных установок» (сборник «Математика и опыт», под. ред. А. Г. Барабашева, 2003) Кричевец рассматривает кантовский априоризм.
Традиционная проблема в современной философии в аспекте сражения антифундаментализма с фундаментализмом: действительно ли априорные структуры, посредством которых мы мыслим математику, одинаковы у всех людей во все времена? Или существует значительная разница, обусловленная историей и культурой?
Насколько я поняла, Кричевец ближе ко второй позиции, хотя и называет ее частичной. Обобщение частичных трансцендентальных субъективностей он видит в интерсубъективности и историческом процессе. В этой статье, как и в первой из рассмотренных, он обсуждает в том числе деятельностный подход. Он спорит с В. Я. Перминовым, для которого априори существует только в деятельности, и обращается к концепции Эвальда Ильенкова. Как мне представляется, он хочет ввести в деятельностный подход идею коммуникации, в которой и складываются главные истины, в том числе истины математики.
Однако надо сказать, что Кричевец работает не только в области философии математики. У него есть работы по феноменологии и экзистенциально-феноменологическому осмыслению психологии (ибо сейчас он непосредственно связан с этой наукой). В статье «Априори психолога и категории психологического понимания» («Вопросы философии», 2008, № 6, с. 82–94) он рассматривает психологию в свете учения Гуссерля о жизненном мире. Он указывает, что физиологическая психология, которая стремится объяснить всё человеческое ментальное содержание через состояния мозга, никогда не достигнет цели, потому что она не может пояснить смысловые переживания человека.
Аналогичные идеи он развивает в недавней статье «Субъект и интерсубъективная психика. Феноменология в междисциплинарной перспективе». В ней мне больше всего понравилось различение «авторства» и «собственности» мыслей.
Кричевец демонстрирует, что далеко не все идеи, которые приходят нам в голову, — продукт нашего личного авторства. Многие прямо рождаются в интерсубъективном пространстве, хотя мы, безусловно, их думаем.
Он не раз цитировал Выготского:
«Всякая функция в культурном развитии ребенка появляется на сцену дважды, в двух планах, сперва — социальном, потом — психологическом, сперва между людьми, как категория интерпсихическая, затем внутри ребенка, как категория интрапсихическая… За всеми высшими функциями, их отношениями генетически стоят социальные отношения, реальные отношения людей».
И в этой статье Кричевец тоже показывает, что «объясняющая» психология, сводящая смысловые синтезы нашего ума к простым рефлексам мозга, терпит неудачу без опоры на феноменологическое понимание.
Кричевец — соавтор очень интересного учебника «Математика для психологов». Полезен этот учебник далеко не только психологам. Математический материал подается там на двух уровнях: один — наглядный с примерами, второй — углубленный, со строгими доказательствами. Каждый, кто хотел бы углубить познания в математике, может его прочесть с большой пользой для себя.
Помимо научной деятельности А.Н. Кричевец еще и поэт! Его стихи можно найти в интернете. Он — пример многогранного мыслителя, настоящего ученого.
Алексей Георгиевич Барабашев
Алексей Георгиевич Барабашев (род. 1953) стоял у истоков семинара и первые десятилетия его деятельности был его руководителем и вдохновителем. Он организовал многочисленные «камерные» конференции, был редактором нескольких сборников трудов семинара. В последние годы он переключился на другую тематику — занимается проблемами государственного управления, но, к счастью, иногда мы всё-таки видим его и на наших заседаниях.
Барабашев — представитель антифундаментализма. В статьях он подчеркивает социокультурные измерения математики. Однако сначала рассмотрю его раннюю книгу «Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования» (1991). В ней он рассматривает проблемы предсказания того, как может развиваться математическое знание.
Сначала Барабашев дает интересный обзор истории математики в аспекте ее постепенного усложнения. Он много пишет о том, как происходят математические открытия, в какой связи находится постановка вопроса и последующее его решение (например, формулировка Гильбертом задач, стоящих перед математикой в его время, привела к развитию соответствующих, обозначенных им разделов математики). Задача должна вписаться в уже существующие научные области, она должна быть сформулирована на подходящем языке и т. п.
Он решает, по сути, важную философскую задачу: как поставить цель для мысли? Без цели мысль двигается хаотически. Но собственно цель не может быть поставлена, пока задача не решена, ведь для ясной постановки цели нужна какая-то гипотеза, какое-то предвидение будущего результата. Эту взаимосвязь целеполагания и творчества Барабашев исследует на многих примерах открытий в математике. Уже в этой книге появляются те идеи, которые А. Барабашев будет развивать в дальнейшем: важность социального взаимодействия среди математиков, то, как проблемы носятся в воздухе.
В 1997 году вышел сборник «Бесконечность в математике», редактором которого был Алексей Барабашев. В нем он опубликовал интересную статью «Бесконечность и неопределенность». Он вводит очень неожиданное определение бесконечности — как «характеристики несамотождественной неопределенности образов». Это можно пояснить так, что «определение» есть полагание пределов и в то же время снятие неопределенности.
Всё, чему не дается явного определения, является в некотором смысле бесконечным, поскольку не имеет положенных ему пределов. Когда исчезает неопределенность образов, исчезает и бесконечность (эту его идею я не очень понимаю — ведь натуральный ряд бесконечен и в то же время, как кажется, вполне определен).
Математику он описывает как работающую только с конечными объектами, но при этом всегда стремящуюся к бесконечности; бесконечность для математики, можно сказать, нормативна.«Бесконечность — это муза математического творчества».
В уже цитированном сборнике «Стили в математике» (редактором которого был он сам, 1999) Барабашев опубликовал весьма трудную для понимания статью «О прогнозировании развития математики посредством анализа формальных структур познавательных установок». В ней он основывается на идее, восходящей к О. Шпенглеру, о том, что математика есть продукт культуры, то есть в разных культурах мы видим разные математики.
Он вводит три вида «познавательных установок» в математике: в классической античной культуре господствовала предмет-предметная установка; в Новое время она сменилась предмет-функциональной установкой; в наше время и в будущем развернется третья установка — предмет-функционально-финальная.
Нововременная предмет-функциональная установка включает в себя изучение изменений объектов, которое представляется в виде функций.
«„Переставание предмета быть самим собой“, „выход из себя“, „стремление к“, траектории и потоки и т. п. разновидности изменений начинают рассматриваться как самостоятельный вид феноменов», — указывает А. Барабашев.
Что же касается третьей установки, самой современной, то в ней «взаимодействуют три равноправных вида феноменов: предметы, изменения, кластеры („финалы“)», то есть она дает возможность изучать эквифинальность, бифуркации, аттракторы и др. Барабашев пишет, что во второй установке открывается возможность сравнения элементов и их изменений, а в третьей — возможность сравнения между собой элементов, изменений и финалов.
В сборнике «Математика и опыт» (также под его редакцией, 2003) Барабашев опубликовал статью «Регресс математического априоризма», в которой обсуждает кантовскую идею о том, что суждения математики являются априорными. Программа априоризма, совершенно справедливо указывает он, всё больше сдает позиции, из чего следует, что она регрессирует. При этом основной упор он сделал на то, что кантовские представления об априорности пространства как формы чувственного созерцания оказались фальсифицированы появлением неевклидовых геометрий.
Априоризм в философии математики он называет методологической программой в терминах Лакатоса и показывает, что эта программа постоянно сдает свои позиции, что появляются всё более слабые версии априоризма. Однако мне кажется, что связывать весь априоризм только с идеей созерцания пространства неправильно.
На место кантовских созерцаний приходят логические построения, мы не можем их «созерцать», однако они разрабатываются всё-таки людьми и, следовательно, зависимы от познавательных способностей человека, то есть также априорны. Логика не менее априорна, чем созерцание пространства.
Наконец, упомяну выступление Барабашева в 2011 году на тему «Математика и действительность: социокультурный подход». В нем мы видим типично антифундаменталистский подход. Он начинает с того, что математика, безусловно, имеет отношение к реальности. Объяснения этого факта делятся на три вида: платонистский, конструктивистский и агностический.
Платонистский исходит из определенного изоморфизма царства математики и царства реальности. Конструктивистский — из тождественности деятельности в математике и в реальности. Агностический отказывается выносить суждение и иногда даже отвергает саму проблему. Однако все три подхода Барабашев относит к фундаменталистским. Антифундаменталистская философия математики исходит из того, что математика — социальная практика. Следовательно, отношение ее к действительности опосредуется социокультурными соображениями, и оно изменяется на разных этапах развития математики. Прежние дилеммы исчерпали свой потенциал, уверен Барабашев. Необходимо развивать новые подходы.
Василий Яковлевич Перминов
Василий Яковлевич Перминов (род. 1938) — патриарх семинара. По образованию он математик, но кандидатскую диссертацию защищал по философии. Почти все его многочисленные работы посвящены философии математики. В обозначенной мной битве фундаменталистов с антифундаменталистами он принадлежит к первым. Однако важнее, что у него есть собственная теория, которую он отстаивает много лет. Это теория деятельностного априори.
Книгу «Философия и основания математики» он начинает с критики релятивизма.
«Мы чувствуем, что, прилагая эволюционный тезис к математическому знанию, мы совершаем некоторое насилие над истиной, распространяем в общем верное положение за пределы его действительной значимости. Является несомненным фактом, что математика содержит в себе принципы, обладающие абсолютной надежностью, имеющие вневременное значение, для которых общий релятивистский тезис не имеет силы», — пишет он во введении.
Перминов категорически не согласен и с идеями «натурализации» математики, приравнивания ее к опытным наукам. Он выдвигает три принципа обоснования математики: априоризм, прагматизм и формализм. Априоризм говорит, что математика не является опытной наукой. Прагматизм — что она тем не менее рождается в практике. Формализм, как и априоризм, призван установить, что она — формальная наука, законы которой принципиально не тождественны законам опытных наук.
Василий Яковлевич много пишет об очевидности, особо выделяя аподиктическую очевидность как такую, которая не может быть скорректирована никаким опытом и лежит в основании математических рассуждений. Относительно надежности математического доказательства Перминов — типичный фундаменталист. Он не принимает релятивистскую идею о том, что абсолютной надежности достичь невозможно, что к ней можно только стремиться.
Он считает, что в ядре математики — арифметике и евклидовой геометрии — абсолютная надежность уже достигнута. Однако разводит понятия строгости и надежности, указывая, что надежность доказательства гарантирована, в то время как строгость его может увеличиваться.
В статье «Об априорности классической механики» Перминов поднимает интересную тему о том, является ли механика априорной или опытной наукой. Это действительно загадочная вещь, ведь, казалось бы, механика — часть физики, науки опытной. В то же время в МГУ отделение механики — это отделение механико-математического факультета, и механика преподается как часть математики, науки априорной. В механике определенно есть что-то чисто математическое, априорное.
Перминов отвечает на этот вопрос так: априорны в механике представления о пространстве и времени, на основе которых возникает и понятие движения — основное ее понятие. Поэтому механика, по словам Перминова, двойственна, она имеет априорное ядро и опытное содержание. Это положение, конечно, можно оспорить. Само понятие движения у нас, вероятно, действительно априорно, но в то же время если бы все законы механического движения были априорными, древние греки бы их сформулировали, а мы знаем, что у греков была совсем другая концепция движения. Загадка механики, на мой взгляд, еще не раскрыта.
Выше я сказала, что у Перминова есть собственная концепция априорности — деятельностное, или праксеологическое априори. Это означает, что априорные структуры нашего мышления созданы практикой, они являются продуктом деятельности.
Мы привыкли связывать подобные рассуждения с эволюционной эпистемологией, то есть с таким представлением, что то, что априорно для индивида, является апостериорным для вида, сформированным в процессе эволюции.
Свои идеи Перминов высказывал еще тогда, когда тексты эволюционных эпистемологов не были переведены на русский, а многие еще и не появились, так что он является здесь первопроходцем. Не будучи биологом, он ничего не говорит об эволюции. Он стоит на точке зрения диалектического материализма, он постулирует появление таких деятельностных структур в ходе собственно деятельности.
Возникает, конечно, вопрос: если они появляются в деятельности, то какое основание называть их априорными? Ведь деятельность — это вид опыта. Так что само понятие априорного у Перминова немного размывается. Однако он указывает на априорность как на отношение к мышлению. Априорные структуры появляются в ходе деятельности, но предшествуют математике как науке.
«Наш основной тезис будет состоять в том, что априорное знание — это знание, порожденное человеческой практикой», — пишет Перминов в статье «Априорность и реальность исходных представлений математики».
Он подчеркивает, что практическое априори нормативно, оно устанавливает законы, является «естественной задачей» мышления. В этом смысле он разводит «практику» и «опыт»: под опытом он понимает получение позитивной информации о мире, под практикой — формирование универсальных норм мышления. Так, кантовскую категорию причинности Перминов тоже выводит из деятельностной установки сознания.
Рассуждая о математизации естествознания, Перминов отмежевывается от пифагорейского учения о том, что природа естественным образом описывается на языке математики. Он указывает, что математизация не может охватить те области, в которых общее целое больше своих частей (то есть обладающие эмерджентными свойствами), поскольку математика по существу аддитивна, в ней нет такого, что целое не равно частям.
В нескольких статьях, посвященных проблеме «предустановленной гармонии» между математикой и физикой, Перминов также применяет свою теорию деятельностного априоризма. Он считает, что математические структуры предвосхищают физические открытия, потому что существует некое предвидение проблем, некое математическое предвосхищение. Оно также имеет деятельностную природу, покоится на взаимодействии физики и математики, поскольку обе являются видами познавательной деятельности.
В 2000-х и 2010-х годах Перминов заинтересовался проблемами, выходящими за рамки философии математики. Одна из них — проблема времени. У него появились чисто феноменологические работы, однако в целом он не отказывается от своей деятельностной установки. Так, в статье «Деятельностное обоснование необратимости времени» он пишет, что необратимость времени — свойство человеческого сознания, причем оно неразрывно связано с необходимостью вычленения причинно-следственных связей. Без такого вычленения деятельность стала бы немыслимой, поскольку мир превратился бы в хаос. А причинно-следственные связи сущностным образом основаны на движении времени в одном направлении («…свойство асимметрии причинной связи, состоящее в том, что причина предшествует следствию. Это свойство причинности диктуется фактической возможностью действия»).
Владислав Алексеевич Шапошников
Владислав Алексеевич Шапошников (род. 1968) — один из самых молодых и в настоящее время активных участников семинара. Он закончил механико-математический факультет МГУ по отделению механики, но кандидатскую диссертацию писал уже по философии. Сейчас он работает на философском факультете в должности и.о. заведующего кафедрой философии естественных факультетов.
Первые работы Шапошникова посвящены религиозной философии, в частности наследию П. Флоренского, который, как известно, был математиком по образованию. Однако Шапошников писал не только о нем, но и вообще о связи религиозного и научного мышления. В достаточно ранней статье «Математика как ключ к мировоззрению» (сборник «Обретая Путь. Павел Флоренский в университетские годы», 2011) Шапошников анализирует проблемы дискретности и непрерывности, как они представали в мировоззрении Флоренского в математическом и общефилософском аспектах.
Одна из ранних статей Шапошникова — «Математическая мифология и пангеометризм» (сборник «Стили в математике», 1999) — посвящена понятию математического мифа и его связи с геометрией. Он рассматривает диалог Платона «Тимей», в котором представлено творение космоса Демиургом согласно математическим схемам и из геометрических фигур.
Затем Шапошников прослеживает существование математических мифов, под которыми понимается прежде всего употребление математических образов у Плотина, Николая Кузанского и далее в «вырожденном», как он выражается, виде — у Лейбница и в современности. Эти математические образы, указывает Шапошников, обычно имеют геометрический характер (так было и у Платона). Пангеометризм математики — это ее восприятие нами, обусловленное нашей культурой.
В последние годы на семинаре и в статьях В. Шапошников сосредоточивается на осмыслении философских проблем математики в исследованиях современных зарубежных авторов.
Он справедливо указывает, что российские философы часто варятся в собственном соку, игнорируя интересные, содержательные споры, которые ведутся зарубежными коллегами.
Еще один его интерес — проблема научных революций в математике. С фундаменталистской точки зрения революции в математике невозможны. Главный аргумент фундаменталистов — во время революции, если ее понимать по Куну, происходит пересмотр полученных ранее результатов и даже потеря определенных наработок, многие постулаты, казавшиеся незыблемыми, оказываются попросту ложными. В математике же доказанные результаты не отбрасываются и не пересматриваются. По этому поводу практически нет возражений даже у убежденных антифундаменталистов.
Однако, как показывает Шапошников, отсутствие революций в строгом куновском смысле, с отбрасыванием результатов, не означает, что в математике нет смены парадигм. Если понимать математику широко, как способ мышления, способ использования понятий, общие убеждения, некую «метаматематику», — всё это меняется весьма радикально.
Шапошников отличается широчайшей эрудицией в своей области и приводит в статьях массу сведений о дискуссиях в зарубежной философии математики. Проблема революций в математике не исключение, по этому поводу у него вышло несколько статей, где он подробно разбирает, что писали англоязычные теоретики.
Так, вслед за ними он вводит различение научных революций на куновские и галлисоновские: первые касаются изменения теорий, вторые — изменения инструментального оснащения науки. Галлисоновской революцией является и революция, связанная с появлением компьютеров в математическом доказательстве. Кроме галлисоновских вводятся также хакинговские, или «большие» революции, затрагивающие разом много областей науки. Именно к таким относится и компьютерная революция.
В одной из статей Шапошников пишет, что благодаря компьютерной революции особенно ярко выявляется социальная природа математики.
Математик больше не выглядит героем-одиночкой. Появляются сообщества математиков, которые, живя в разных городах и странах, с помощью компьютерных сетей совместно решают математические проблемы (например, сообщество Polymath).
Возможно и даже вероятно, пишет он, что за коллективной математикой будущее.
Шапошников не бросил и ту тему, которой занимался в молодости, — о связи математики и религии. У него есть две статьи на английском языке, в которых он рассматривает «теологический фундамент» (underpinning) математики. Например, он приводит выдержки из сочинений Фреге, в которых тот пишет о связи математического мышления с религиозным.
Замечательны наблюдения Шапошникова над «нуминозным», «возвышенным» (sublime) характером математики. Математическое творчество заменяет утративший свои позиции религиозный дискурс — Шапошников уверен, что рассмотрение математики в терминах нуминозного всё еще законно, оно не сдало свои позиции (статья об этом еще находится в печати).
И всё же в последнее время В. Шапошников занимает антифундаменталистскую позицию. В статье «Преодолеть Куна: о некоторых предпосылках рассмотрения компьютерной революции как революции в математике» он, комментируя высказывание математика М. Атья о том, что компьютеры, действуя вычислениями «в лоб», разрушают глубинную суть математики, пишет:
«На мой взгляд, математике смерть ни в коем случае не грозит, ведь она попросту не обладает той инвариантной „глубинной сущностью“, исчезновение которой следовало бы интерпретировать как смерть».
Это типично антифундаменталистское высказывание, которое можно сравнить с тем, как в логическом бихевиоризме начала ХХ века говорилось о том, что не существует внутренних переживаний и любой ментализм пагубен. Для таких подходов характерно то, что они сосредоточиваются на внешних вещах, отрицая наличие чего-либо глубинного.
Я никак не могу согласиться с таким подходом, но и не могу не отметить, что, по мере того как представители старшего поколения принимают в спорах всё меньше участия, В. Шапошников выходит на позиции нашего ведущего философа математики.
