Алгебраические многообразия, пространства дуг и антарктическая империя. Каким был личный космос Джона Нэша

Диагноз, который поставили Джону Нэшу психиатры из госпиталя Маклин, был основан на весьма запутанном клубке из невидимых и вездесущих коммунистов, зороастрийских культов огня и космоса. Американская психиатрия того времени использовала в качестве одного из инструментов фрейдистский анализ. Не избежал этой участи и Нэш: его психоаналитик заключил, что галлюцинации пациента свидетельствуют о латентной гомосексуальности. Следует заметить, что подобный вывод был вполне обоснованным.

В 1954 году Нэша и еще одного молодого человека арестовали за «непристойное поведение» в уборной в Санта-Монике, Калифорния. В Америке середины 1950-х нравы были гомофобными, и Нэш потерял работу консультанта в стратегическом исследовательском центре RAND.

Психический коллапс Нэша совпал с ускорившейся эволюцией психиатрических практик. Старые методы вроде терапии электрическим током и введения пациентов в гипогликемическую кому применяли наряду с новыми антипсихотическими препаратами — на них возлагали немалые надежды, назначая их в том числе при параноидной шизофрении. Нэшу прописали хлорпромазин (аминазин); вскоре его состояние начало стабилизироваться: это проявилось, помимо прочего, в том, что он нанял юриста, чтобы выписаться из больницы. Тем не менее следующие 20 лет жизни Джона Нэша прошли в попытках сбежать из реальности психиатрических клиник.

В этой истории, подробно описанной Сильвией Назар в книге «Игры разума», проглядывают как минимум два более интересных сюжета-интерпретации. Это теоремы Нэша об изометрических вложениях — малоизвестные для всех, кто находится за границами чистой математики, однако куда более глубокие, чем другие популярные работы этого ученого. Кроме того, хочется взглянуть на иллюзии и галлюцинации Джона Нэша без традиционного нарратива инсулинового мышления. Посмотреть в глаза человека, которому большую часть своей жизни пришлось оправдываться за то, что он увидел Космос.

Болезнь гения

Впервые Нэш попал в клинику в 1958 году; на тот момент ему было 29 и он только что получил продвижение в Массачусетском технологическом институте. Инициатором госпитализации была его жена Алисия. В частности, ей показалось несколько странным то, что на предновогодней вечеринке супруг появился в подгузниках и провел вечер, свернувшись калачиком на ее коленях.

Возможно, какое-то подозрение вызвали заявления Нэша о том, что инопланетяне разрушили его карьеру, а его комната заполнена прослушивающими устройствами. Масла в огонь подлили и его письма в ООН, иностранным послам, папе римскому и в ФБР, в которых Нэш излагал планы формирования мирового правительства и высказывал желание поехать в Вашингтон, чтобы лично доставить их.

Ученый подозревал, что коллеги проверяют его мусорное ведро, чтобы украсть его идеи. Люди в красных галстуках, которых Нэш наблюдал в МТИ, были в его глазах членами криптокоммунистической партии. На собрании Американского математического сообщества он читал лекции, которые слушатели называли чистым безумием. Блестящий математик отказался от престижной позиции в Чикагском университете, мотивировав это тем, что собирается вскоре стать императором Антарктики. Поездка в Европу закончилась тем, что Нэш бежал из Парижа в Швейцарию, пытаясь отказаться от гражданства США, и писал оттуда множество писем нумерологического содержания.

Спустя шесть лет, пройдя несколько циклов тяжелых состояний и непродолжительных ремиссий в Принстоне, в феврале 1964-го Нэш отправился во Францию, а оттуда в Рим. Стоя перед Форумом, он слышал голоса, которые считал телепатическими телефонными звонками от математиков, осуждающих его идеи. Они материализовывались в виде местных жителей, которые будто бы передавали из телефонных будок сообщения в центральную машину, переводившую их на английский и доставлявшую (а точнее, вводившую, как при инъекции) информацию непосредственно в разум ученого. Сильвия Назар упоминает, что Нэш считал себя «великой тайной религиозной личностью», бросающей вызов папе как лидеру христианского мира.

В 1965 году появились признаки ремиссии, и целый год Нэш преподавал в Университете Брендайса. Но вскоре началось очередное падение в бездну, сопровождавшееся тайными сообщениями в The New York Times от некоего Тайного Комитета. Примерно тогда же Нэш связался с Джеком Брикером, аспирантом в МТИ, который ушел оттуда из-за настойчивого внимания со стороны Нэша. Математик считал, что его имя и фамилия (John Nash) естественно трансформируется в Johannes von Nassau, что напоминает, очевидно, John von Neumann (математик Джон фон Нейман также занимался теорией игр еще до Нэша). Что касается Брикера, то в его имени Нэш увидел отзвуки библейского имени Иаков (Jack → Jacob), который выкупил у своего брата Исава (Nassau → Esau) право первородства и от его лица получил отцовское благословение.

В письмах, которые цитирует Сильвия Назар, есть нетривиальные утверждения Нэша о природе его галлюцинаций: он говорит об «истинной потребности в освобождении, освобождении от рабства, освобождении от „кастрации“, освобождении из тюрьмы, освобождении от изоляции».

Нэш называл себя беженцем, который скрывается от «ложных и опасных символов».

В какой степени психическая дестабилизированность может сказаться на математическом исследовании, которое сущностно и методологически отличается от естественно-научных дисциплин? В рамках вольного социологического допущения представим: если физик, занимающийся космологией, обнаружит в своей работе прямые и очевидные свидетельства наступления Кали-юги, предварительно посетив пару психиатрических клиник и получив соответствующий диагноз, то его научная репутация может оказаться под вопросом.

А вот математическая среда куда толерантнее к людям, которые делают свою работу, имея те или иные «необычные» свойства мышления. Насколько социологичен этот факт? Следует ли помещать этот вопрос исключительно в контекст «математического сообщества» и его реакции на те или иные предположения?

Главные работы Нэша

Обратимся к наиболее значимым математическим результатам, к которым пришел Джон Нэш. Для этого нужно пояснить некоторые первичные и основные определения, структуры и правила, которые используются в геометрии (преимущественно дифференциальной) и топологии.

Одним из базовых объектов, представляющих в первую очередь геометрический интерес, является многообразие — топологическое пространство, которое локально напоминает пространство евклидово, знакомое нам из школьного курса геометрии и из повседневной пространственной интуиции. Что означает «локально напоминает»? У каждой точки из многообразия есть открытая окрестность, которая гомеоморфна окрестности евклидова пространства.

Гомеоморфизм можно понимать как соответствие (точнее, отображение) Ф с определенным набором правил, а именно, что Ф — непрерывное отображение и его обратная функция Ф-1 тоже непрерывна. Два многообразия топологически идентичны, если они гомеоморфны друг другу.

Итак, у нас есть топологическое пространство Х. Множество гомеоморфизмов между открытыми множествами X будет псевдогруппой S, если выполнены следующие условия:

1) области определений элементов g множества S покрывают Х;

2) сужение элемента g множества S на любое открытое множество, содержащееся в его области определения, также находится в S;

3) произведение двух элементов g1 * g2 множества S находится в S;

4) обратный элемент S находится в S;

5) если есть гомеоморфизм g : U → V между двумя открытыми множествами в X, и U покрыто открытыми множествами Ua так, что каждое сужение g|Ua находится в нашем множестве S, то этот гомеоморфизм тоже принадлежит S.

С помощью псевдогруппы мы сможем вывести другое определение. Пусть S — псевдогруппа на Rn, тогда S-многообразие размерности n — это топологическое пространство М с S-согласованным атласом на нем. S-согласованный атлас (S-атлас) — это множество S-согласованных карт, области определения которых покрывают М.

Карта, или локальная система координат — это пара (Ui, fi), где Ui — открытое множество в М и fi : Ui → Rn — гомеоморфизм. Если мы посмотрим на произведение одной карты с обратной функцией другой, то мы получим их склейку (отображение склейки), которая позволит нам сравнивать разные карты. Склейка также является гомеоморфизмом.

До этого мы поняли, что мы можем сравнивать и определять многообразия благодаря непрерывным отображениям между ними. Отображения бывают не только непрерывными, но и гладкими, а структуры, обладающие этим свойством (например, гладкие многообразия), — это довольно удобные объекты, так как их можно изучить с помощью известных и привычных аналитических средств. Например, мы можем определить гладкую (непрерывно дифференцируемую, «дифференцируемая» на некотором множестве означает, что у функции есть дифференциал в каждой точке этого множества) функцию как функцию, имеющую непрерывную производную на всем множестве определения.

Теперь же, зная, что такое атлас, карта и склейка, мы легко можем понять, как различаются некоторые виды многообразий:

• дифференцируемое многообразие — это топологическое многообразие, на котором заданы классы эквивалентности атласов, склейки которых являются дифференцируемыми;
• гладкое многообразие — это дифференцируемое многообразие, у которого склейки являются гладкими, то есть существуют производные всех порядков;
• аналитическое многообразие — это гладкое многообразие, в котором каждая склейка аналитична, то есть ряд Тейлора сходится абсолютно;
• комплексные многообразия, в которых склейки голоморфны.

Два гладких многообразия идентичны, если они диффеоморфны, то есть отображение между ними гладкое, равно как и обратное ему. Иначе говоря, диффеоморфизм — это отображение для многообразий, обладающих свойством гладкости.

Когда мы говорим о гомеоморфизмах, то работаем с понятием непрерывной функции, а в случае с диффеоморфизмом — с гладкой.

Теория категорий позволяет проще понять два эти определения. В элементарном и упрощенном понимании можно думать о гомеоморфизмах как об изоморфизмах в категории топологических пространств и непрерывных функций, а о диффеоморфизмах — как об изоморфизмах в категории гладких многообразий, которые не просто непрерывны, но также сохраняют дифференциальную структуру.

Придирчивый читатель заметит, что в самом определении многообразия была пропущена существенная деталь: когда мы пытаемся говорить о сходности топологического многообразия с евклидовым пространством, обычно постулируется, что мы рассматриваем многообразия размерности m и евклидово пространство той же размерности Rm. Подобное замечание раскрывает, какую важную роль играет взаимодействие идентичных или разных размерностей, а также структур, которые гомеоморфны и диффеоморфны одновременно или нет. Например, американский ученый Джон Милнор получил медаль Филдса за исследование экзотических сфер в больших размерностях, которые являются гладкими многообразиями, гомеоморфными n-сфере, но не диффеоморфными.

Работа Джона Нэша также несет в себе вопрос о том, как взаимодействуют различные многообразия. Если точнее, это попытка исследования изометрических вложений римановых n-многообразий в евклидовы пространства Rq для какого-то q = q(n). Изометрическими они являются потому, что, грубо говоря, при отображении сохраняют длину кривых.

Нэш вывел и доказал три теоремы:

1. C0-римановы многообразия с непрерывными римановыми метриками допускают изометрические C1-вложения в евклидово пространство R2n.
2. Компактные Cn-римановыми m-многообразия, где n = 3, 4… и вплоть до бесконечности, допускают изометрические Cn-вложения в Rq, где q = 3sn + 4n, где sn = n * (n + 1) / 2, а некомпактные могут быть вложены в Rq, где q = (n + 1) * (3sn + 4n).
3. Компактные вещественные аналитические римановы m-многообразия допускают изометрические вещественные аналитические вложения в Rq для всё тех же q = 3sn + 4n.

Эти теоремы и их доказательства Нэш опубликовал в 1954–1966 годах. Можно позволить своему мышлению включить эзотерику и неточность, увидев довольно неожиданное появлении вполне конкретных оценок (чисел в вышеприведенных формулах) и спросив, как он об этом догадался. Никакого обоснованного ответа на этот метаматематический вопрос нет, как нет в работе Нэша и привычных паттернов, присущих, например, бурбакистам (строительство новых теорий) или «техникам» вроде Яу Шинтуна, которые известны способностью работать на максимально сложном в техническом смысле уровне.

Проблемы, решенные Нэшем, на тот момент были классическими; решения же были довольно далеки от классического (точнее, привычного, еще точнее — вытекающего из общепринятой интуиции) метода.

Классический результат в дифференциальной топологии, теорема Уитни о вложении (и ее более слабая формулировка, теорема о погружении), заключается в том, что гладкое замкнутое (то есть компактное и не имеющее граничной точки) многообразие M размерности n может быть гладко вложено в R2n. Точнее, существует такое гладкое отображение f : M → R2n, что в каждой точке дифференциал f является инъективным погружением. Также из теоремы Уитни следует, что на любом замкнутом гладком многообразии M можно найти вещественную аналитическую структуру, то есть существует атлас, который допускает функции замены координат, являющиеся вещественными аналитическими отображениями.

Нэш продолжил работу Уитни своей статьей Real algebraic manifolds (1952) и продемонстрировал, что каждое гладкое замкнутое многообразие размерности n может быть реализовано как алгебраическое подмногообразие (это любое подмножество Rn, состоящее из общих нулей множества полиномиальных уравнений).

Джон Нэш показал, что любому алгебраическому подмногообразию можно определить размерность, используя алгебраическую технику, и число, которое получается в итоге, совпадает с привычным метрическим определением размерности для подмножества евклидова пространства.

В вещественной алгебраической геометрии появился новый объект для изучения — многообразия Нэша. Таким образом, работа Джона Нэша позволила перекинуть мост между алгебраическими и геометро-аналитическими техниками.

Доказательства, которые дал Нэш, оказались полезными для развития других аналитических и геометрических техник. Например, Юрген Мозер в 1966 году обобщил теорему Нэша 1956 года для решения задач в небесной механике; сама техника стала более известна как теорема Нэша — Мозера (Nash — Moser iteration scheme).

Конструкция Михаила Громова, известная как h-принцип, явно была вдохновлена теоремой Нэша — Кёйпера: грубо говоря, Громов через h-принцип интерпретирует систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных как достаточно «мягкую» для того, чтобы она по своему поведению была похожа на дифференциальное неравенство. Множество изометрий не является открытым множеством в пространстве C1-отображений, так как является C0-плотным в открытом множестве коротких (не увеличивающих расстояний) отображений. Попытка работать с отсутствием такого рода решений — одна из основных мотивировок создания h-принципа.

В более спекулятивном и философском разрезе можно сказать, что теорема Нэша — Кёйпера, по сути, стала утверждающим доказательством того, что абстрактные миры, построенные Риманом, вполне естественно взаимодействуют с привычными евклидовыми пространствами.

Как и во многих других случаях, в математике важен не столько сам факт решения той или иной проблемы, а методы, которые создаются и используются для выполнения этих целей.

Другая, более современная ветвь наследия работ Джона Нэша довольно активно развивается в последние годы. Она выросла из последней его статьи, опубликованной лишь спустя 28 лет после написания, — Arc structure of singularities. Идея состояла в том, чтобы использовать пространство комплексных аналитических дуг в комплексном алгебраическом многообразии как средство изучения его особенностей их разрешений. Хороший пример особенностей — это кривые, пересекающие сами себя. Разрешения особенностей — это одна из центральных техник в классификации алгебраических многообразий и поверхностей. Например, британско-иранский математик Каушер Биркар, который недавно получил медаль Филдса, работает в области алгебраической геометрии, частично связанной с этой темой.

В статье Нэш сформулировал задачу, которая до сих пор не решена целиком. В наше время она сформулирована для алгебраических многообразий (varieties; хотя скорее для схем, которые являются обобщением varieties в целях применения и обобщения методов дифференциальной геометрии в алгебраической) для алгебраически замкнутого поля любой характеристики.

Задача Нэша

Возьмем комплексное алгебраическое многообразие V. Пространство X дуг в V — это струи голоморфных отображений x : Ω → V, где Ω — произвольное открытое подмножество поля комплексных чисел C. Нэш понял, что на множестве особенностей Vs имеется структура «бесконечномерного комплексного многообразия», которое обладает конечным множеством неприводимых компонент; эту структуру он назвал семействами дуг и предложил установить взаимоотношение между семействами дуг X(Vs) и неприводимыми компонентами образа Vs с помощью разрешения особенностей V. Вопрос о том, соответствуют ли все такие компоненты какому-то семейству дуг, в алгебраической геометрии сейчас называется задачей Нэша.

Почему мы приводим два столь разных сюжета? Один из них напоминает бульварные рассказы о сумасшедших ученых; второй пытается передать научный результат высочайшего класса и значимости, который требует как технической компетенции, так и способности видеть плодовитый лес за голыми деревьями.

На наш взгляд, оба сюжета представляют собой проявления одной реальности, требующие пика воображения и творческой силы — иначе говоря, воли жить в мире, наполненном повсеместной опасностью и безумием. Подобное соседство может быть ключом к иномирному, частным следствием из которого является и необъяснимая математическая интуиция.

Джон Нэш рассказывает о том, как преодолевал шизофрению

Почему об этом важно рассказать? Посмотрите видеозаписи с участием Джона Нэша. Неудобные, некомфортные вопросы «А что ты там видел?» и «Как ты избавился от этого недуга?» не так страшны, потому что не вызывают удивления: это явление повсеместно и знакомо всем, но не все могут вынести из страдания свет. Тем обиднее видеть, с каким явным мучением Нэш говорит о том, как рад «возвращению способности мыслить рационально». Трудно видеть эту тяжелую, каменную грусть в глазах человека, которому всю оставшуюся жизнь пришлось рассказывать лишь об отказе от своего idios kosmos — личного космоса.