Гёдель, Гротендик и Ханс Арп. Философия математики: об основаниях и не только

Первым из таких — недоказуемых и неопровержимых — утверждений стал тезис о непротиворечивости самой аксиоматической системы — набора базовых правил, определяющих теорию. Оказалось, что внутри обычной арифметики натуральных чисел невозможно выяснить, существуют ли такие утверждения, чтобы верны были и они сами, и их отрицание. (А ведь если они — вдруг — имеются, то арифметика полностью теряет смысл: истинными становятся абсолютно любые положения!)

Это и есть сформулированная тогда же вторая теорема Гёделя.

Для получения недоказуемых и неопровержимых утверждений, являющихся ответами на обычные математические вопросы, понадобилось время. Первым из них стала так называемая континуум-гипотеза. Предложенная еще в конце XIX века создателем теории множеств Георгом Кантором, она вошла в список 23 проблем Гильберта, оказавший огромное влияние на развитие математики XX века. Ее можно сформулировать следующим образом: «Существуют ли множества, элементов в которых слишком много, чтобы пронумеровать их натуральными числами, и слишком мало — чтобы каждому вещественному числу можно было сопоставить отдельный элемент?»

Лекция известного логика В.А. Успенского о теореме Гёделя

В 1940 году Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу нельзя опровергнуть. Для этого он построил «конструктивный универсум», особенность которого в том, что можно точно указать, каким образом создано каждое из его множеств. Выяснилось, что введенная Гёделем модель представляет собой по сути «мир всех множеств».

В 1963 году Пол Джордж Коэн показал, что конструктивный универсум можно расширить так, что полученная в результате этого действия структура тоже будет удовлетворять всем аксиомам теории множеств. Иными словами, он изобрел метод форсинга. И в этом случае континуум-гипотеза в новообретенном универсуме оказывается неверной.

Выходит, что в одних «мирах множеств» континуум-гипотеза истинна, в других — нет. А следовательно, она независима — недоказуема и неопровержима в стандартной для теории множеств аксиоматике Цермело — Френкеля. За это достижение в 1966 году Пол Коэн был награжден главной математической наградой — медалью Филдса.

На протяжении многих десятилетий специалисты в этой области пытались найти набор простых утверждений о множествах, который давал бы единственно верное интуитивное представление о них. Они верили в существование математических объектов и в теорию множеств как единое основание для всей математики. В то же время независимые от стандартной аксиоматики утверждения такого рода росли как грибы после дождя. Ученым приходилось иметь дело с многочисленными (а не с единственным, как это было у Георга Кантора) «теоретико-множественными мирами» — моделями теории множеств, ставшими реальными объектами исследования.

Независимые утверждения начали иногда появляться и вне становившегося маргинальным теоретико-множественного «гетто», не только в таких «традиционных» в этом смысле областях, как теория меры или теория упорядоченных множеств, но и в абстрактной алгебре. Скажем, независимость так называемой проблемы Уайтхеда в теории абелевых групп была доказана крупнейшим израильским математиком Сахароном Шелахом в 1974 году.

Ученые и философы всё чаще стали говорить о том, что поиск истинной аксиоматики бессмыслен, а теория множеств не единое основание математики, но лишь одна из многочисленных теорий, исследующих различные типы математических объектов.

Первым на этом пути был Джон фон Нейман, высказывавший такие идеи еще в 1925 году. Наиболее же последовательно они изложены в опубликованной в 2011 году статье нью-йоркского математика и философа Йоэля Давида Хэмкинса «Теоретико-множественный мультиверс».

Проблематика теории множеств, математической логики, вопрос о природе математических объектов на протяжении XX столетия оставались центральными для философии математики, выросшей из аналитической традиции Фреге, Рассела, Витгенштейна. Так, вышедший в 2005 году «Оксфордский справочник по философии математики и логики» под ред. Стивена Шапиро и опубликованный в 2009 году «Справочник по философии математики» под ред. Эндрю Ирвайна почти полностью посвящены чисто логическим проблемам, математические источники которых относятся к началу XX столетия или еще более ранним периодам.

Революционные изменения в науке, происходившие с середины XX века, как и реальную математическую практику, это направление философии во многом игнорирует.

Теоретико-множественный язык превращает математику в науку о внутреннем устройстве различных абстрактных объектов. Ученые пытаются выявить наиболее существенные свойства каждого из них, а также изучать и классифицировать все объекты, обладающие этими характеристиками, понять, из каких «простейших кубиков» они собраны. Одним из наиболее масштабных проектов такого рода было определение «базовых наборов симметрий», которые могут встречаться в природе, — классификация конечных простых групп. Ее доказательство, завершенное, по мнению математического сообщества, к середине 1980-х годов, занимает десятки тысяч страниц, рассеянных по статьям сотни ученых, а работа над серией монографий, представляющей собой полный и связный его текст, окончена будет, судя по всему, не скоро.

Попыткой довести теоретико-множественный подход до совершенства и уместить всю математику в его рамки, записав ее соответствующим языком, был многотомный трактат «Элементы математики» под коллективным авторством группы французских ученых, скрывавшихся под псевдонимом Никола Бурбаки. Завершить проект не удалось: наука развивалась быстрее попыток ее систематизации. В середине XX века теорию множеств и структур, популярную в первой половине столетия, потеснила теория категорий, которая и стала еще одним языком математики.

Категорный подход превратил объекты в «бесструктурные» точки, и его адепты задались вопросом, как они взаимодействуют друг с другом (на морфизмах между ними). Более того, предметом исследования стали связи между различными математическими теориями и стандартные способы рассуждения. Они были названы «функторами» и «естественными соответствиями».

Одной из задач последовательно проводимого категорного подхода стал отказ от понятия точного равенства в пользу многообразных видов «схожести», понимаемых через отношения и естественные соответствия разного рода. Все началось с работ Самуэля Эйленберга и Сандерса Маклейна, написанных в 1940-е, однако в подлинном смысле этого слова изменил математику Александр Гротендик, долгое время не имевший какого-либо гражданства потомок датских и русских евреев, бо́льшая часть жизни которого прошла во Франции. Его революционные идеи, нашедшие отражение в многотомниках «Элементы алгебраической геометрии» и «Семинар по алгебраической геометрии», принципиально изменили облик науки, упомянутой в названии обоих трудов (исследование решений уравнений, заданных многочленами многих переменных), теории чисел, а вслед за ними — и других дисциплин.

Лекция Уильяма Ловера «Каковы основания геометрии и алгебры?»

Одним из наиболее известных ученых, пытавшихся сделать теорию категорий логическим основанием математики, был ученик Эйленберга американец Уильям Ловер, но по-настоящему масштабным этот проект стал благодаря трудам Владимира Воеводского — российско-американского ученого, профессора Института перспективных исследований в Принстоне, лауреата медали Филдса 1998 года. Первую половину своей научной карьеры он посвятил развитию теории мотивов (или «универсальной теории когомологий в алгебраической геометрии»), необходимость создания которой была одной из центральных идей Александра Гротендика.

Лекция Владимира Воеводского об унивалентных основаниях математики

С середины 2000-х до своей внезапной смерти в 2017 году Воеводский изучал возможность построения так называемых унивалентных оснований математики, используя в качестве одного из инструментов теорию «высших категорий» — математического мира, в котором практически исчезает понятие равенства, но существуют лишь отношения сходства, сходства между отношениями сходства, сходства между сходствами отношений сходства — и т. д. до бесконечности.

Одним из вероятных достоинств унивалентных оснований стала их принципиальная конструктивность: возможность реализации любых математических объектов на компьютере, «естественность» работы с «непрерывными деформациями» объектов и отображений (гомотопиями), а также несложное взаимодействие с системами автоматической проверки доказательств, предполагающее их запись в виде машиночитаемого кода. Именно последнее Воеводский считал самым важным преимуществом и видел в этом главную практическую ценность такого подхода.

Пристрастие к автоматической проверке доказательств, возможно, было обусловлено и биографически. В одном из важнейших трудов Воеводского (написанном им совместно с Михаилом Капрановым в 1990 году) Карлос Симпсон в 1998 году обнаружил ошибку — однако большая часть математического сообщества решила, что неточность, наоборот, содержится в контрпримере самого Симпсона. Сам же Воеводский признал ошибочность своего результата лишь в 2013 году.

Специализирующийся главным образом на философии теории категорий российско-французский мыслитель Андрей Родин пытается совместить традиционную идеологию подхода к философии математики через ее основания и современную науку. В своей монографии «Аксиоматический метод и теория категорий» он прослеживает историю указанного метода в математике от древних греков до современности, а также размышляет о явлении тождества и исследует происходившие в разное время изменения интуитивных представлений о различных математических понятиях.

Однако сами математики обыкновенно связывали и связывают свою деятельность с наукой как таковой, а не с поиском «единой теории, с которой математика начинается». Одним из наиболее заметных текстов, посвященных философии математики и психологии математической деятельности, стала занимающая почти тысячу страниц книга Александра Гротендика «Урожаи и посевы», написанная им в середине 1980-х. Частично она переведена на русский язык Юлей Фридман. В монографии, наполненной философскими, биографическими, социологическими и психологическими размышлениями, автор, рассуждая о методах математической работы и математического открытия, говорит о пользующихся уже существующим аппаратом консерваторах — и о строителях-первооткрывателях, создающих новые миры в неизведанных местах; о попытке решения задач при помощи сложных технических трюков — или же путем создания новых теорий, в которых старые задачи оказываются естественными и простыми за счет правильного выбора этих самых теорий. Он говорит о психологических состояниях первооткрывателя — об одиноких «дитя-строителе» и «дитя-исследовательнице». Один создает из уже известных ему компонентов концепции, которые позже будут поняты другими и станут «домом» не только для него, но и «для всех». Вторая же медленно рождает из смутности и неясности представления о принципиально новых понятиях. Пишет Гротендик и о социальных «хозяевах» этих психологических состояний — ответственных за их функционирование в обществе.

Иной подход к «околоматематическим» рассмотрениям предложил Михаил Громов — крупнейший геометр российского происхождения, проживающий с начала 1970-х во Франции и США. Его заинтересовала возможность создания математической теории обучения на основе концепции «эрго-мозга» (авторство которой принадлежит самому Громову). Этот конструкт представляет собой структуру, «промежуточную» между мозгом как физическим объектом, с одной стороны, и разумом как таковым — с другой. Именно с ней он связывает кажущиеся непрактичными и противоречащие «здравому смыслу» мыслительные операции, такие, например, как математика.

Лекция Михаила Громова «Смысл математики и математика смысла»

Среди философов также есть те, кого в большей степени интересуют не вопросы обоснования математики, но изменение реального математического мышления в разные эпохи. Одним из них был погибший в 1944 году участник французского Сопротивления (организации, действовавшей против нацистов) Альберт Лотман. Он выделил пять типов мышления, или пять свойств, отличавших современную ему математику от практиковавшейся в прошлом:

1) сложная иерархия математических теорий, несводимых одна к другой;

2) богатство моделей и теорий, несводимое к манипуляциям с языком;

3) единство методов исследования и постоянное взаимодействие различных, кажущихся противоположными областей, которые разделяются лишь для того, чтобы позже оказаться связанными друг с другом на ином уровне;

4) динамика математической деятельности. Каждая теория рассматривается как однородный мир, управляемый едиными правилами, из которых, однако, имеется обычно небольшое число не менее важных исключений, исследуемых отдельно;

5) постоянные «увеличения» и «уменьшения» точности, перемешивания различных типов практики (выдвижение гипотез, доказательство, эксперимент и др.), математических дисциплин (теория чисел, алгебра, топология, геометрия) и концепций.

Первая лекция из курса Фернандо Заламеа об Александре Гротендике

В близком направлении мыслят британский философ математики и психологии Дэвид Корфилд, а также колумбийский математик и философ Фернандо Заламеа, который в 2009 году добавляет к этим пяти чертам еще пять, характеризующих математическую науку наших дней:

1) структурная нечистота арифметики (теории чисел) — формирование ее многочисленных связей с геометрией, алгеброй, анализом;

2) геометризация всевозможных областей математики;

3) схематизация — освобождение математических концепций от теоретико-множественных, алгебраических и топологических деталей;

4) исследование изменчивости и деформаций различных математических структур;

5) самоприменимость математических теорий.

В книге «Синтетическая философия современной математики» Заламеа делает краткий обзор близких ему идей разных математиков и мыслителей. Среди них Раймонд Уайлдер, Хавьер де Лоренсо, Фредерик Патрас, Пенелопа Мэдди, Жиль Шатле, Жан-Карло Рота, Сандерс Маклейн, Джордж Пойа и Уильям Ловер. Большая же часть книги посвящена анализу работ крупнейших математиков современности в контексте перечисленных выше десяти свойств.

Иначе мыслит Ален Бадью — быть может, наиболее знаменитый из ныне живущих французских философов. Он пытается придать математике статус универсальной онтологии (основания для размышлений о бытии) и считает ее формой мысли, которая, как и другие ее формы, пытается определить собственные границы. Существование же математических объектов Бадью рассматривает лишь как вопрос непротиворечивости мыслимого, отказываясь от каких-либо «универсальных оснований». Математика у него становится сложным способом систематического исследования изменений. Мыслитель широко пользуется методами и своими интерпретациями теории множеств и теории топосов — одного из разделов теории категорий.

Лекция Алена Бадью «Философия: между поэзией и математикой»

В своих многочисленных монографиях, таких как двухтомник «Бытие и событие», «Краткое руководство по транзиторной онтологии», «Математика трансцендентного: онто-логия и бытие-здесь», Бадью выстраивает сложный диалог философии, математики и поэзии.

В этом обзоре мы смогли в общих чертах обрисовать философское поле, в пределах которого рассматриваются и формальные вопросы математической логики («аналитическая» граница), и попытки применения математических методов при решении классических проблем континентальной философии («метафизическая» сторона). Разумеется, все многообразие способов взаимодействия современной математики и философии — особенно когда первая становится не только предметом мысли или применяемым методом, но и одним из языков метафоры, — этим не ограничивается. Завершить наше заведомо поверхностное введение-перечисление можно романтической цитатой мистика-традиционалиста Евгения Головина, поэтически описывающей волновую функцию частицы в квантовой механике [авторские пунктуация и орфография сохранены. — Прим. ред.]:

«Пространство Гилберта — это пространство абсолюта, настолько эластичное, что в нем возможны любые чудеса; зная его характеристики, можно, находясь в Москве, протянуть руку и сорвать самый спелый банан в Африке либо эдельвейс в Альпах, потому что здесь (поразительная догадка Новалиса): „каждая линия это мировая ось“, и понятие „расстояния“ не имеет смысла. Единственный электрон движется (вернее, двигался двадцать лет назад) в трехмерном пространстве, десять электронов движутся в тридцатимерном пространстве, но зато эволюция волны с течением времени стала рассматриваться как движение точек в пространстве Гилберта. Так почему бы не рассмотреть подобным образом и следующий текст Ганса Арпа: „…белый собор превращается в белую рукавичку, белое, белое, белое. Белый слон намыливает прическу белой пеной ничто. Белое, белое, белое. Его глаза пропадают в млечных тенях электрической дороги и аккумулируют белые крики вокруг каучуковых фортепьяно“, — и не трактовать его в качестве вполне стабильного и вразумительного порождения, существующего в пяти или семимерном пространстве? Почему в пространстве Гилберта „тепло происшествия“ не может течь из фаянсовой кружки?»