Пределы логики. Правда ли, что логика — единственная завершенная наука

Мария бывает либо дома, либо в офисе. Она не дома. Где же она? Чтобы сделать вывод, что Мария в офисе, необходима логика — объединение разных фрагментов информации из разных источников и извлечение из них смысла. Соединяя множество элементарных логических рассуждений, мы можем решать гораздо более сложные задачи, например, в математике.

Логика помогает отличать последовательность от непоследовательности. Берем три утверждения: «Мария либо дома, либо в офисе», «Марии нет дома» и «Марии нет в офисе». В совокупности эти заявления противоречивы: они не могут быть правдой одновременно. Любые два могут быть истинными, но они исключают третье. Когда мы замечаем какое-либо несоответствие в утверждениях, мы склонны перестать им верить. Логика имеет решающее значение для способности обнаруживать несоответствия, даже если мы не можем точно объяснить, что пошло не так. Часто все гораздо глубже, чем в примере про Марию. Обнаружив несоответствия в сказанном, мы можем понять, что наш друг запутался или что политик лжет.

Если изложить нашу модель рассуждения средствами формальной логики, мы имели предпосылки «А или B» и «не-A» и пришли от них к выводу «B». Дедуктивное действие заключалось в двух коротких словах: «или» и «не». Содержание, которое вы вкладываете в A и B, не имеет логического значения, если только оно недвусмысленно. Если утверждения «А или B» и «не-А» верны, то верно и утверждение «B». Другими словами, такая форма силлогизма (логического рассуждения) с точки зрения логики верна. Конкретно такой силлогизм называется дизъюнктивным. Большую часть своей жизни вы составляли дизъюнктивные силлогизмы, даже не догадываясь об этом.

Логика не может утверждать, верны ли предпосылки и выводы аргумента. Она не может сказать, где Мария: дома, в офисе, или ее нет ни в одном из этих мест.

Логика говорит о связи между предпосылками. Если вы будете правильно пользоваться логикой, то из истинных предпосылок придете к истинному результату. При этом вы можете логически верно рассуждать, исходя из ложных посылок, тогда результат может быть каким угодно.

Например, мое первоначальное утверждение о Марии могло быть совершенно неверным, и на самом деле она едет на поезде.

Логическое рассуждение построено на операциях, выражаемых специальными терминами: или, не, и, если, некоторые, все и есть. Например, возьмем такое рассуждение: «Все поганки ядовиты. Это поганка, следовательно, это ядовито». Эту форму силлогизма мы используем, применяя общие знания к конкретным случаям. А вот математический пример другой формы силлогизма: «если X меньше 3, при этом Y не меньше 3, то X не есть Y». На этом примере мы видим, что две вещи идентичны только в том случае, если у них одинаковые свойства.

Как в повседневной жизни, так и в науке, мы крайне мало внимания уделяем роли логических понятий в наших рассуждениях, потому что они выражают вовсе не то, о чем нам интересно поговорить. Нас волнует, где находится Мария, а не дизъюнкция, выражаемая союзом «или». Однако без этих логических понятий наши рассуждения бы просто развалились. Замена слова «некоторые» на слово «все» превращает многие истинные аргументы в ложные. И вот философов логики интересует не то, где Мария, а то, как работает дизъюнкция.

Логику изучали в древнем мире, в Греции, Индии и Китае.

Распознать действительные и недействительные формы силлогизмов в обычных рассуждениях непросто. Мы должны сделать шаг в сторону от тех вещей, которые обычно представляют для нас наибольший интерес.

Это возможно. Так мы можем увидеть логическую микроструктуру сложных аргументов.

Вот, например, два рассуждения:

«Все политики — преступники, и некоторые преступники — лжецы, поэтому некоторые политики — лжецы».

---

«Некоторые политики — преступники, и все преступники — лжецы, поэтому некоторые политики — лжецы».

Вывод в них одинаковый, однако только в одном из этих двух случаев посылки действительно ведут к нему. Сможете ли вы определить, в каком именно?

У вас могло сложиться впечатление, что логика имеет дело с ограниченным числом форм силлогизмов, и как только все они были классифицированы как действительные или недействительные, логика выполнила свою задачу, осталось только передавать этот навык следующим поколениям. Философы тоже иногда попадали в эту ловушку, думая, что в логике больше нечего открывать. Однако теперь известно, что какие бы проблемы ни решали логики, у них всегда будут новые задачи, которые нельзя свести к уже решенным. Чтобы понять, почему логика стала такой открытой областью исследований, нам нужно оглянуться назад и посмотреть, как ее история переплеталась с историей математики.

Математика — наиболее устойчивая и успешная традиция логических рассуждений в истории человечества. Ее результаты применяются в естественных и социальных науках, поэтому и эти науки в конечном итоге тоже зависят от логики.

Идея о том, что математическое утверждение необходимо доказывать на основе уже имеющихся, восходит к геометрии Евклида. Хотя обычно математиков больше волнует математическая выгода от рассуждений (а не их абстрактная структура), им пришлось развить логические рассуждения до беспрецедентной мощности.

Примером может служить принцип доведения до абсурда. Это логический прием, который используют для доказательства несостоятельности какого-либо аргумента, находя противоречия в его следствиях.

Так, математики, чтобы доказать, что существует бесконечно много простых чисел, начинают с обратного предположения, согласно которому существует наибольшее простое число, а затем выводят из этого предположения противоречивые следствия.

В сложном доказательстве, возможно, придется делать предположения внутри предположений внутри предположений.

Логика развивалась параллельно математике, которая к XIX веку становилась все более абстрактной и общей. Джордж Буль разработал то, что сейчас называют булевой алгеброй. По сути, она представляет собой логику «и», «или» и «нет», но в равной степени и логику пересечения, объединения и дополнения подмножеств. Булева алгебра сыграла фундаментальную роль в истории цифровых вычислений.

Булева логика имеет свои пределы. В частности, она не оперирует категориями «некоторые» и «все». Тем не менее, сложные комбинации ее понятий играли большую роль в строгих математических определениях, например, непрерывности математической функции, да и самой функции. Эти понятия в математике начала XIX века послужили причиной путаницы.

В конце XIX века в математике наблюдается тенденция к большей строгости. Тогда ее пытались свести к логическим конструкциям на основе арифметики и теории натуральных чисел, которые получаются путем прибавления единиц к нулю.

Затем математик Рихард Дедекинд продемонстрировал, что сама арифметика может быть сведена к общей теории всех последовательностей, порождаемых из начальной точки путем многократного применения заданной операции. Эта теория очень близка к логике. Он наложил на операцию два ограничения: она никогда не выводит один и тот же результат для разных входных данных и никогда не выводит отправную точку. Учитывая эти ограничения, результирующая последовательность не может возвращаться сама к себе и поэтому — бесконечна.

Самая сложная часть проекта Дедекинда заключалась в том, чтобы показать, что существует хотя бы одна такая бесконечная последовательность. Он не хотел принимать натуральные числа как нечто само собой разумеющееся, он пытался объяснить именно арифметику. Он предложил иную последовательность, отправной точкой в которой вместо 0 был он сам и чья порождающая операция (вместо добавления 1) конструировала из любой посылки мысль, которую он мог подумать об этой посылке. Это не похоже на обычную математику. Но добился ли кто-то большего в стремлении сделать арифметику абсолютно строгой?

Неоценимым для философов, лингвистов, а также математиков, стал язык логики Фреге. Возьмем простой силлогизм: «Каждая лошадь — животное, поэтому хвост каждой лошади — это хвост животного». Он был признан действительным задолго до Фреге, но последний проанализировал его основную структуру и объяснил его обоснованность.

Сегодня философы регулярно используют его подход для анализа гораздо более сложных силлогизмов. Например, лингвисты таким образом объясняют, как значение сложного предложения определяется значениями составляющих его слов и способом их согласования.

Именно Фреге больше, чем кто-либо другой, внес вклад в попытки свести математику к логике. К началу XX века казалось, ему это удалось. Однако Бертран Рассел заметил скрытое противоречие в логических аксиомах, на основе которых Фреге реконструировал математику. Хуже не придумаешь.

Это противоречие проще всего объяснить в терминах множеств. Чтобы понять его, нам следует сделать шаг назад.

Когда становится ясно, что мы подразумеваем под треугольником в математике, мы можем говорить о множестве всех треугольников. Поскольку столь же ясно, что мы подразумеваем под нетреугольниками, мы должны иметь возможность говорить о множестве всех нетреугольников. Единственное различие между этими двумя наборами состоит в том, что множество всех треугольников не является членом самого себя, поскольку оно не является треугольником, тогда как множество всех нетреугольников является членом самого себя, поскольку оно также не является треугольником. Всякий раз, когда становится ясно, что мы подразумеваем под X, мы можем говорить о множестве всех X. Этот естественный принцип множеств называется «неограниченным пониманием». Логика Фреге работала по аналогичному принципу.

Раз ясно, что мы подразумеваем под «множеством, которое не является членом самого себя», значит, существует множество всех множеств, которые не являются членами самих себя.

Назовем это множество R — по имени Бертрана Рассела. Является ли множество R членом самого себя? Но если R является членом самого себя, то оно является членом множества множеств, которые не являются членами самих себя — налицо противоречие!

Это противоречие и есть парадокс Рассела. Хотя многие множества не являются членами самих себя, не существует множества всех множеств, которые не были бы членами самих себя. Возникает вопрос. В каких случаях мы вообще можем говорить о множестве всех X? Это важнейший вопрос для современной математики, поскольку она основана на теории множеств. Что же нам делать, если мы никогда не можем быть уверены в том, что существует множество, о котором мы можем говорить?

Логики и математики исследовали множество способов ограничить принцип неограниченного понимания, чтобы избежать противоречий, но одновременно с этим не хотели помешать математическим исследованиям. Рассел и Альфред Норт Уайтхед продолжили проект Фреге, сводящий большую часть математики к последовательной логической системе, но наложили на него жесткие ограничения, чтобы он не порождал противоречий. Сегодня математики предпочитают более простую и мощную систему, разработанную примерно в то же время Эрнстом Цермело и усовершенствованную Абрахамом Френкелем. Эта концепция называется итеративной, поскольку аксиомы Цермело-Френкеля описывают, как все больше и больше множеств порождаются путем итерации операций построения множеств. Например, для любого множества существует множество всех его подмножеств, которое является большим множеством.

Континуум-гипотеза — естественная гипотеза о размерах различных бесконечных множеств. Ее впервые предложил Георг Кантор, основатель теории множеств, в 1878 году. А в 1938 году Курт Гёдель показал, что континуум-гипотеза согласуется со стандартной теорией множеств, при условии, что последняя непротиворечива. Однако уже в 1963 году Пол Коэн показал, что отрицание континуум-гипотезы тоже согласуется со стандартной теорией множеств (опять же, при условии, что последняя непротиворечива). Таким образом, если стандартная теория множеств непротиворечива, она не может ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу. Некоторые теоретики множеств искали новые правдоподобные аксиомы, которые можно было бы добавить к теории множеств, чтобы так или иначе урегулировать континуум-гипотезу. Эти изыскания пока не привели к успеху.

Математики могут использовать множества, не беспокоясь о риске несогласованности. Эти математики подобны законопослушным людям, которые при этом вообще не думают о правонарушениях.

Теория множеств — не единственная возможная основа для математики, однако аналогичные ей проблемы возникают для любой альтернативной концепции. Нам потребуются ограничения, чтобы не сталкиваться с парадоксом Рассела.

Изучая связь между математическим доказательством и формальной логикой, мы находим более глубокие связи между логикой и информатикой.

Большинство доказательств в математике формализованы лишь частично. Они представлены как сочетание математических и логических обозначений, диаграмм и естественного языка.

В тоже время основные аксиомы и принципы остаются не упомянутыми. Когда компетентные математики подвергают сомнению какой-либо пункт доказательства, они предлагают авторам прописывать все недостающие шаги до тех пор, пока не станет ясно, что все их рассуждения легитимны. Предполагается, что любое надежное доказательство можно сделать полностью формальным и логически строгим, хотя на практике полная формализация не требуется. Доказательство средствами формальной логики — по-прежнему золотой стандарт.

Стандарт формального доказательства тесно связан с проверкой математических доказательств с помощью компьютера. Обычное полуформальное доказательство не может быть механически проверено, поскольку компьютер не может оценить прозаическое повествование, содержащее формулы. Необходим интерактивный процесс между программой и людьми-математиками. Программа неоднократно просит людей уточнить определения и промежуточные шаги, пока не найдет полностью формальное доказательство. Это может занять месяцы.

Даже самые опытные математики используют интерактивный процесс для проверки достоверности сложного полуформального доказательства — им известны случаи, когда в блестящую и невероятно убедительную стратегию доказательства закрадывалась тонкая ошибка.

Связь между логикой и вычислениями очень глубока. В 1930 году Гёдель показал, что существует надежная и полная система доказательств для логики первого порядка. Часто логика первого порядка — это все, что нужно. Система надежна в том смысле, что любая доказуемая формула действительна, а любая действительная формула доказуема. Система обеспечивает автоматический способ перечисления всех действительных формул языка, даже если их бесконечно много, поскольку все доказательства могут быть перечислены по порядку. Хотя этот процесс бесконечен, любая действующая формула рано или поздно проявится, пусть и, возможно, не при нашей жизни. Существует ли общий алгоритм, который для любой формулы может определить, действительна она или нет?

Почти одновременно в 1935–1936 годах Алонзо Чёрч в США и Алан Тьюринг в Великобритании доказали, что такой алгоритм невозможен. Для этого они рассуждали, что означает понятие алгоритма — механического способа решения проблемы шаг за шагом, не оставляющего места для рассуждений. Тьюринг придумал точное описание воображаемой универсальной вычислительной машины, которая могла выполнять любой алгоритм. Он доказал, что ни одна такая машина не сможет решить проблему принятия решения. По сути, он изобрел компьютер. В то время слово «компьютер» использовалось для обозначения людей, занимающихся вычислениями. Во время Второй мировой войны Тьюринг действительно создал электронный компьютер, способный взламывать немецкие шифры, что внесло большой вклад в разгром немецких подводных лодок.

Логика и вычисления идут рука об руку со времен Тьюринга. Языки программирования по структуре тесно связаны с формальными языками логики. Процветающей отраслью логики является теория сложности вычислений, которая изучает насколько быстрым может быть алгоритм с точки зрения количества шагов, которые он включает в себя в зависимости от размера входных данных. Если вы откроете журнал по логике, вы заметите, что его авторы — представители разных академических дисциплин, например, математики, информатики и философии.

Раньше философы думали, что основные логические принципы будут несомненными или самоочевидными. Но в прошлом веке каждый принцип стандартной логики был отвергнут. Вызовов было множество: парадоксы, бесконечность, неопределенность, квантовая механика, изменения, открытое будущее, стертое прошлое и так далее.

Было предложено множество альтернативных систем логики. В логике, как и в любой другой науке, существуют разногласия и споры. Как и в случаях других наук, это не делает ее бесполезной, а усложняет. Логики сходятся во мнении, что этого достаточно для достижения прогресса, а большинство альтернативных логиков согласны, что классическая логика хорошо работает в обычных случаях. На мой взгляд, любые возражения против классической логики необоснованны, но это уже другая тема.